有限元法與有限體積法相結合處理運動電磁問題
甘 艷，阮江軍，張 宇 (武漢大學電氣工程學院，湖北省 武漢市 430072)
Combining the Finite Element Method and the Finite Volume Method in Motion Problem Simulation
GAN Yan, RUAN Jiang-jun, ZHANG Yu (Electrical Engineering School, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei Province, China)
ABSTRACT: A novel method which combining the finite element method(FEM) and the finite volume method(FVM) are adopted to deal with electromagnetic field problems in moving media. The characteristic of the control equation which governing the motion problem is that the equation contains second order elliptic terms and the first order terms with large coefficients, namely, the diffusion term and the convection term. Difficulties in numerical analysis are resulting from the discrete of the convection part. Error estimation of the discrete format of the general Galerkin FEM was analyzed. Solutions by Galerkin FEM contain spurious oscillations under high Peclet number. Considering the advantages of the FEM and FVM, these two methods were combined in solving the convection-diffusion equation. The diffusion term of the equation was discreted by FEM, while the convection term could be treated by FVM. Upwind schemes help to remove spurious oscillations that occur in the solution of convection-diffusion equation. The validity and the efficiency of this method were testified by the comparison of analytic solution and numerical solution. Meanwhile, a simple motion model was analyzed by this method. The results show that the proposed method is superior in analyzing the motion problem.
KEY WORDS: control equation; convection-diffusion equation; convection-dominated; Galerkin finite element method; finite volume method; dual mesh; upwind coefficient
摘要：提出了應用有限元法與有限體積法相結合處理運動電磁問題。運動電磁問題控制方程的特性是方程中不僅有二階導數項，還含有一階導數項，且一階導數項的系數很大。處理這類問題的關鍵是如何離散一階導數項。闡明一般Galerkin 有限元法離散格式的誤差估計，說明一般Galerkin有限元法處理對流占優型對流擴散方程時解的不穩定性，當局部Peclet 數較大時，Galerkin有限元法求解會使結果產生明顯的振蕩。在比較了有限元法與有限體積法各自優點的基礎上提出將這2種方法相結合處理運動電磁問題，同時，在對流項的處理中還引入了迎風格式以消除數值解的振蕩。對簡單的一維問題分別應用解析法和數值法計算，從而說明了文中提出的方法的正確性和高效性。應用該文方法計算了一個簡單的運動問題，結果表明這種方法可以很好地處理運動電磁問題。
關鍵詞：控制方程；對流擴散方程；對流占優；Galerkin有限元法；有限體積法；對偶剖分；迎風系數
0 引言
目前，場域內介質間的相對運動問題是電磁場數值計算中遇到的一個重要問題。在分析這些問題時，要考慮因運動引起的切割電勢。解決這類問題
的難點主要有2 個方面：如何解決數值解的振蕩問題以及如何處理介質間的相對運動使得有限元剖分網格發生變化的問題[1-3]。目前，討論介質間相對運動時的網格處理方面的文獻較多，關于數值解振
蕩的問題也已展開了廣泛的研究，并取得了一定的成果。對于數值解的振蕩問題已達成的共識是：通過其它的方式將速度因子V融合到剛度矩陣中，避免出現矢量位函數A對空間坐標的偏導數。文獻[1]提出了消除數值解失真振蕩的迎風有限元思想，這種處理方法的思想是通過對權函數的修正[4-5]、或高斯積分點的偏移[6]使得有限元方程獲得穩定的數值解。但是隨著導體運動速度的增加，系數矩陣中速度項所占比例逐漸增大，從而導致對角線元素逐漸減小，甚至會導致系數矩陣失去“主元占優”的特性。而且，修正權函數的方法會使計算量大大增加，偏移高斯積分點的方法對于三角形單元不適用。當控制方程中沒有對流項時，用有限元法求解的穩定性是可以保證的，導致數值解不穩定的原因是對流項的處理方法不妥，那么是否可以將對流項與擴散項分開處理，用常規的有限元法處理擴散項，而用其他的方法來離散對流項，當然，離散對流項的方法應該保證對對流項處理的穩定性。本文提出了將有限元法與引入迎風思想的有限體積法相結合處理運動電磁問題，用常規有限元法處理控制方程中的擴散項而用引入迎風思想的有限體積法處理對流項。這種方法在不增加計算量的前提下保證了計算精度，消除了數值解的振蕩。
1 控制方程的特性
2 Galerkin 有限元處理運動問題時解的不穩定性分析
在求解對流占優的對流擴散方程時，標準的
Galerkin 有限元格式是不穩定的[7]。為討論方便，以二階線性常微分方程第一邊值問題為例討論標
準的Galerkin有限元格式解對流占優型的對流擴散方程時解的誤差估計。
3 有限體積法
3.1 有限體積法基本原理
有限體積法在對求解區域作有限剖分后，將原方程在某個子域上積分，應用Gauss定理將散度的積分轉化為子域邊界上的積分而后選取適當的有限維試探函數空間，在該子空間上離散含子域邊界積分的方程，通過引入以Reimann問題近似解為基礎的數值流通量從而導出相應的計算格式。
就離散方法而言，有限體積法可視為有限元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定待求量在網格點之間的變化規律(插值函數)，并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格上待求量的數值而不考慮其在網格點之間如何變化。有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定待求量在網格點之間的分布，這與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制體積的積分，而且對微分方程中不同的項可以采用不同的插值函數[8]。
有限體積法的具體實施步驟是：將計算區域均分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分得出1 組離散方程。其中的未知數是網格點上的待求量數值。為了求出控制體的積分，必須假定待求量在網格點之間的變化規律(插值規律)。有限體積法得出的離散方程，要求待求量的積分守恒在任意1 組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格足夠細密時，離散方程才滿足積分守恒，而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。
有限體積法從物理的觀點來分析問題，每一個離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式。其推導過程物理概念清晰，離散方程的系數具有一定的物理意義，并可以保證離散方程具有守恒特性。同時，有限體積法將網格劃分和節點布置分開帶來了幾何靈活性，它允許網格與控制體不一致，從而帶來定義離散運動場的靈活性。但有限體積法不能象有限元法那樣利用弱解的概念使二階導數降階[8]，其對邊界的處理不如有限元法方便。
有限體積法從積分守恒形式出發，將散度的積分化為子域邊界積分后再離散，數值解滿足離散守恒律，而且可以采用非結構網格，所以在計算物理，計算流體力學和計算傳熱學等多個領域有廣泛的應用[9-12]。20 世紀80 年代以來，由于自適應算法和無結構網格技術的發展，有限體積法得到了更長足的進步，在處理大變形和各種復雜流體動力學問題的能力，以及在方法的精度和收斂性的理論研究方面都有了實質性的進展。
有限元法對應于能量方法，自然地導出擴散問題的單元離散方法。有限體積法從積分守恒形式出發，反映出物理量的守恒規律。把這2 種方法相結合，充分發揮各自的特點，對流項用有限體積法逼近，而擴散項用有限元法離散可以更好地求解對流占優型的對流擴散方程。
3.2 應用有限體積法離散控制方程中的對流項
3.2.1 控制方程離散的思想
M.Feistauer 將非線性對流項用數值通量逼近，擴散項利用Galerkin有限元方法離散，更好地求解了具有初邊值條件的對流擴散方程，證明了一種半隱式有限體積–有限元方法離散格式求解二維非線性拋物型對流擴散方程的收斂性并給出了誤差估計結果[13-15]。引用這種思想，將方程式(1)中的對流項用有限體積法的思想離散，擴散項則由Galerkin 有限元方法離散。將對流項和擴散項離散后所得到的剛度矩陣中的對應項疊加從而形成總體剛度矩陣。
3.2.2 對偶剖分
3.2.3 有限體積法的離散過程
3.2.4 迎風思想的引入
4 方法的比較
4.1 比較對象
為論述方便，討論一個簡單的一維問題，分別用解析法，有限元法和本文提出的方法來分析。
4.2 有限元法
4.2.1 Galerkin有限元法
4.2.2 迎風有限元法
4.3 有限元法與引入迎風思想的有限體積法
4.4 方法的比較
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