工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列之
《數(shù)值分析》教師：王振海
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數(shù)值分析講義ch4數(shù)值積分與數(shù)值微分.pdf
數(shù)值分析講義ch6解線性代數(shù)方程組的迭代法.pdf
數(shù)值分析講義ch8矩陣特征值與特征向量的計(jì)算.pdf
數(shù)值分析講義ch9常微分方程初值問題的數(shù)值解法.pdf
教材
封建湖，車剛明，聶玉峰，數(shù)值分析原理，科學(xué)出版社，2001
參考書
1、車剛明，聶玉峰，封建湖，歐陽潔，數(shù)值分析典型題解析及自測(cè)試題，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002
2、封建湖，車剛明，計(jì)算方法典型題分析解集（第二版），西北工業(yè)大學(xué)出版社，2001
3、封建湖，聶玉峰，王振海，數(shù)值分析導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2003
第一章緒論
內(nèi)容提要
1 算法的概念、可靠性以及優(yōu)劣評(píng)判
2 誤差的度量以及傳播
3 算法設(shè)計(jì)應(yīng)注意的問題
一、科學(xué)與工程計(jì)算過程
提出實(shí)際問題
辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假設(shè)的條件下，運(yùn)用各種數(shù)學(xué)理論、工具和方法，建立起問題中不同量之間的聯(lián)系，即得到數(shù)學(xué)模型。
建立數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)模型解的存在性（模型內(nèi)部沒有蘊(yùn)含矛盾）、惟一性（模型是完備的)以及對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性統(tǒng)稱為模型的適定性。
提出數(shù)值問題
數(shù)值問題是指有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無歧義的描述。這正是數(shù)值分析所研究的對(duì)象。.
科學(xué)與工程計(jì)算過程（續(xù)）
分類方法1：若算法包含有一個(gè)進(jìn)程則稱其為串行算法，否則為并行算法。
分類方法2：從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間角度來講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱其為數(shù)值型算法，否則為非數(shù)值型算法。
本課程介紹數(shù)值型串行算法。（其它類型算法參閱數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、并行算法等課程）
設(shè)計(jì)高效可靠的算法
數(shù)值分析的任務(wù)之一就是提供求得數(shù)值問題近似解的方法—算法。
概念：從程序設(shè)計(jì)的角度來講，所謂算法是由一個(gè)或多個(gè)進(jìn)程組成；每個(gè)進(jìn)程明確無歧義地描述由操作及操作對(duì)象合成的按一定順序執(zhí)行的有限序列；所有進(jìn)程能夠同時(shí)執(zhí)行并且協(xié)調(diào)地在有限個(gè)操作步內(nèi)完成一個(gè)給定問題的求解。這里操作可以是計(jì)算機(jī)能夠完成的算術(shù)運(yùn)算（加減乘除）、邏輯運(yùn)算、字符運(yùn)算等。
設(shè)計(jì)高效可靠的算法（續(xù)1）
優(yōu)劣評(píng)價(jià)：可靠算法的優(yōu)劣，應(yīng)該考慮其時(shí)間復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）、空間復(fù)雜度（占據(jù)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間的多少）以及邏輯復(fù)雜度（影響程序開發(fā)的周期以及維護(hù)）。這是數(shù)值分析研究的第三個(gè)任務(wù)。
可靠性：所謂算法的可靠性包括如下幾個(gè)方面：算法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計(jì)等。這些是數(shù)值分析研究的第二個(gè)任務(wù)。
一個(gè)算法在保證可靠的大前提下再評(píng)價(jià)其優(yōu)劣才是有價(jià)值的。
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設(shè)計(jì)高效可靠的算法（續(xù)2）
鑒于實(shí)際問題的復(fù)雜性，通常將其具體地分解為一系列子問題進(jìn)行研究，本課程主要涉及如下幾個(gè)方面問題的求解算法：
函數(shù)的插值和逼近
數(shù)值積分和數(shù)值微分
線性方程組求解、非線性方程（組）求解
代數(shù)特征值問題
常微分方程數(shù)值解。
本課程的學(xué)習(xí)方法
盡管本課程所講算法是很有限的，但許多初學(xué)可能仍會(huì)覺得公式多，理論分析復(fù)雜。在此，我們提出如下的幾點(diǎn)學(xué)習(xí)方法，僅供初學(xué)者參考。
1、認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)公式多和講究理論分析的特點(diǎn)。
2、注重各章節(jié)所研究算法的提出，搞清楚問題的基本提法、逐步深入的層次及提法的正確性。
3、理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)原理和基本線索，而且對(duì)一些最基本的算法要非常熟悉。
4、從各種算法的理論分析中學(xué)習(xí)推理證明方法，提高推理證明能力。
5、認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練。
科學(xué)與工程計(jì)算過程小結(jié)
提出實(shí)際問題
建立數(shù)學(xué)模型
提出數(shù)值問題
設(shè)計(jì)可靠、高效的算法
程序設(shè)計(jì)、上機(jī)實(shí)踐計(jì)算結(jié)果
計(jì)算結(jié)果的可視化
在具體問題的求解過程中，上述步驟形成一個(gè)循環(huán)。
科學(xué)計(jì)算（數(shù)值模擬）已經(jīng)被公認(rèn)為與理論分析、實(shí)驗(yàn)分析并列的科學(xué)研究三大基本手段之一。
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二、誤差基礎(chǔ)知識(shí)
內(nèi)容提要：
1.誤差的來源及其分類
2.誤差的度量
3.誤差的傳播
三、舍入誤差分析及數(shù)值穩(wěn)定性
1.浮點(diǎn)數(shù)系
2.舍入誤差的產(chǎn)生
3.舍入誤差分析
4.數(shù)值穩(wěn)定性
5.算法設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)
總之, 除了算法的正確性之外, 在算法設(shè)計(jì)中至少還應(yīng)注意如下幾個(gè)方面的問題:
1 盡量避免兩個(gè)相近的近似數(shù)相減;
2 合理安排量級(jí)相差很大的數(shù)之間的運(yùn)算次序, 防止大數(shù)"吃掉"小數(shù);
3 盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母;
4 防止出現(xiàn)溢出;
5 簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少運(yùn)算次數(shù);
6 選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法.
第二章函數(shù)插值
問題提出
1函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜不便于計(jì)算, 而又需要計(jì)算許多點(diǎn)處的函數(shù)值
2 僅有采樣值, 而又需要知道非采樣點(diǎn)處的函數(shù)值
……
上述問題的一種解決思路：建立復(fù)雜函數(shù)或者未知函數(shù)的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式.
內(nèi)容提要
插值問題
插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法
分段插值法
第三章函數(shù)逼近
一、問題的提出
二函數(shù)逼近問題
主要內(nèi)容
賦范空間、內(nèi)積空間、正交多項(xiàng)式
最佳平方逼近
曲線最小二乘擬合
最佳一致逼近（工科研究生不要求）
第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分
§1 數(shù)值積分概述
§2 Newton Cotes 公式
§3 Romberg求積法
§4 Gauss型求積公式
§5 數(shù)值微分
第五章解線性方程組的直接方法
§5.0 概述
§5.1 高斯消去法
§5.2 矩陣分解及其在解方程組中的應(yīng)用
§5.3 矩陣的條件數(shù)和方程組的性質(zhì)
第六章解線性代數(shù)方程組的迭代法
§6.1向量和矩陣序列的極限
§6.2 迭代法的基本理論
§6.3 幾種常見的迭代法
第七章非線性方程求根
§7.0 簡(jiǎn)介
§7.1 二分法（對(duì)分法）
§7.2 迭代法的基本理論
§7.3 迭代的加速收斂方法
§7.4 Newton迭代法
§7.5弦割法和拋物線法
第八章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算
§8.0 問題描述
§8.1 乘冪法與反冪法
§8.2 雅可比方法
§8.3 QR方法
§8.4 求實(shí)對(duì)稱三對(duì)角矩陣特征值的二分法
第九章
常微分方程初值問題的數(shù)值解法
§9.1 引言
§9.2Euler方法§9.3Runge–Kutta公式
§9.4單步法的進(jìn)一步討論
§9.5線性多步法
數(shù)值算例
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